2026年5月，国际顶级数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国团队撰写的论文。该研究由清华大学与中国科学技术大学双聘教授马杰，以及来自清华大学的博士生申武杰和中国科学技术大学的博士生谢晟捷共同完成。

该论文对1947年由数学家Erdős提出的概率方法进行了指数级改进，该方法在概率组合学领域奠定了基础，并在近80年间未曾出现根本性的突破。

一枚硬币的80年难题

Erdős的经典方法是通过抛掷硬币为完全图的边着色，将边染成红色或蓝色。例如，这一方法曾被用来证明任何足够大的社交网络中必然存在一个完全相互认识或完全互不认识的群体，且“足够大”的规模至少是指数级的。

尽管近年来在Erdős方法所确定的上界方面取得了一些进展，例如在2023年将上界从约4优化至3.7992，但其下界自提出以来近80年几乎未变。马杰团队提出的一个关于球面的新想法，首次撼动了这一长期的下界。

硬币方法的局限性

硬币着色方法的特点是每条边被赋予红色或蓝色的概率各占一半，并且着色过程完全独立。这种方法的优点在于其简洁性和易于分析，但它未能利用任何几何结构来抑制单色团的形成，导致信息利用效率不高。

申武杰提出的核心创新在于将几何概念引入随机性。他构建了“随机球图”模型，即将n个节点随机放置在高维球面上，并根据两点间的距离远近来决定边的颜色——距离远则涂红，距离近则涂蓝。

高维球面存在一个反直觉的特性：当维度极高时，几乎所有点都集中在赤道附近，导致任意两条随机选取的径向线夹角接近90度。这种点对距离高度集中的现象使得边的着色不再是完全随机，而是受到球面几何对称性的精确调控，从而自然地抑制了大规模单色团的出现。

然而，球面模型在降低红色团概率的同时，也相对提高了蓝色团的概率。研究人员在小规模图上验证了该模型，结果表明在数以万计的着色方案中，无团着色的概率依然大于零，证明了收益确实覆盖了代价。

突破性进展的证明

通过利用高维球面独特的几何性质，马杰、申武杰和谢晟捷成功地改进了Ramsey数r(k, 2k)的下界。对于Erdős硬币方法给出的下界底数（约为黄金比例(1+√5)/2≈1.618），该团队将其提升至(1+√5)/2 + 10⁻²¹。尽管改进量仅为小数点后20个零后面跟着一个1，但其关键在于指数增长的Ramsey数。即使底数增加了极小的数值，当k趋向无穷时，新的下界将远超旧下界。

近80年来，这一底数未曾被动摇。该研究不仅微小地提升了数字，更重要的是证明了Erdős的硬币着色方案并非最优，并提出了一种超越纯随机着色的路径。随机球图在结构上优于纯随机着色，表明概率方法还有巨大的提升空间。这是自Erdős以来该领域首次实现指数级改进，并首次提供了超越硬币方法的解决方案。不过，该方法在蓝色团概率大于红色团时有效，在两种颜色禁忌团大小相等（即Erdős最初关注的对角线情形）时，新方法的优势则会消失。

学术界的积极反响

该论文的预印本于2025年7月上传至arXiv后，迅速引起了数学界的关注。组合数学领域的知名学者Gil Kalai在博客上发表了题为“Amazing”的长文，高度评价该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe则表示，用熟悉的方法解决了长期存在的问题令人惊讶，这项技术此前似乎一直被忽视。

2025年12月，马杰在UCLA时的导师Benny Sudakov及其学生进一步证明，无需球面模型，使用高斯随机图同样有效，这大大简化了研究并为更多人参与推广铺平了道路。2026年初，该方法还被推广到了多色Ramsey数问题。最终，该研究成果于2026年5月正式发表于《Inventiones Mathematicae》。

清华“00后”博士生的洞察

马杰是清华大学丘成桐数学科学中心及中国科学技术大学的教授。他拥有Georgia Tech的博士学位，并在UCLA和CMU进行过博士后研究。2015年回国后，他先后在中科大和清华任教。马杰曾获得国家优青和杰青称号，并担任SIDMA编委。2020年，他荣获ICA的Hall Medal，该奖项每年最多颁发两枚给40岁以下的杰出组合数学家。

谢晟捷，高中时期已在数学联赛中获奖，并以优异成绩提前进入中国科学技术大学少年班。本科期间，他获得了丘赛团体铜牌。2023年，他选择留校攻读博士学位，师从马杰，在论文发表时为博士三年级学生。

申武杰，出生于2000年后，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，导师为丘成桐教授，论文发表时为博士四年级。他高中时获得过CMO三等奖，后进入北京大学数学学院学习，并在此期间获得了全国大学生数学竞赛一等奖等多个奖项。2022年，他进入清华大学攻读博士学位。

在博士早期，申武杰的研究方向主要集中在几何与拓扑领域，与Ramsey理论并无直接联系。2024年春季，他对一篇关于Ramsey数的论文产生了浓厚兴趣，并开始思考是否存在比Erdős硬币方法更有效的随机模型来生成无团着色。2024年秋季，申武杰将这一想法与马杰分享，谢晟捷也加入了研究团队。三人合作一年，完成了长达40页的密集计算，最终完成了证明。马杰表示，他们很幸运，付出的努力得到了回报，但过程充满挑战。

AI解题与人类创造力

恰在论文发表的同月，DeepMind公布了AlphaProof Nexus的成果，该AI在353个Erdős开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，其中部分问题已悬置56年。AI通过反复搜索证明路径并进行形式化验证来解决问题。

然而，数学家陶哲轩曾指出，AI在已知框架内搜索方面表现出色，但缺乏原创性思维。马杰团队的研究正是后者——他们并未直接解决Erdős提出的某个具体问题，而是对Erdős发明的核心方法本身进行了升级。AI从Erdős的遗产中“拆解”了部分成果，而马杰团队则“重塑”了他最重要的一项工具。在需要创造性洞察的数学前沿领域，人类的智慧目前仍不可替代。

结语

1947年，Erdős通过一枚硬币开创了概率组合学。近80年后，一位中国“00后”博士生提出了一个简单却富有洞察力的想法：“把节点扔到球面上试试。”